量子计算笔记 (1)

1 简介

我最近在上量子复杂度理论这门课。虽然去年学过量子计算，但这门课似乎又引入了一堆新东西，而且特别数学。

我的线性代数好不到哪里去，所以不得不把它整理一下记下来。

1.1 量子状态

量子态分为纯态和混合态。纯态就是量子态的叠加：

| 𝜑 ⟩ = \sum_{𝑖} | 𝑏_{𝑖} ⟩

而混合态则是纯态的概率分布：

𝜌 = \sum_{𝑖} 𝜆_{𝑖} | 𝜑_{𝑖} ⟩ ⟨ 𝜑_{𝑖} |

其中 $\sum 𝜆_{𝑖} = 1$ 。

在之前学过的量子计算里，我们能看到的东西都是纯态。那么，为什么要发明混合态呢？

考虑 Bell 态 $\frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)$ 。它的第一个量子比特就可以用混合态表示：

𝜌_{1} = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

所以，复合系统的局部状态可能是混合态。

需要注意的是，这里的混合态定义是 $| 𝜑 ⟩$ 投影矩阵的叠加。如果直接写作 $\sum 𝜆_{𝑖} | 𝜑_{𝑖} ⟩$ ，一方面是无法保证归一化，另一方面是这只不过是纯态的线性组合，还是纯态。所以，混合态是矩阵，不能用 $| \cdot ⟩$ 记号表示。

1.2 谱定理

谱定理 (spectrum theorem) 说的是，如果 $𝐴$ 是 Hermitian 矩阵，那么它一定可以写成

𝐴 = \sum_{𝑖} 𝜆_{𝑖} | 𝑏_{𝑖} ⟩ ⟨ 𝑏_{𝑖} |

其中 $𝜆_{𝑖}$ 是 $𝐴$ 的特征值，而且一定是实数； $| 𝑏_{𝑖} ⟩$ 是正交归一的一组基。所以，我们可以将 Hermitian 矩阵某种程度上看作是实数向量。

1.3 密度矩阵

如果 Hermitian 矩阵 $𝜌$ 是半正定的（所有特征值非负），而且 $Tr (𝜌) = 1$ ，那么 $𝜌$ 就是密度矩阵。

线性代数的知识正在攻击我。实际上，虽然 $Tr$ 的定义是主对角线之和，但是它等于特征值之和。这是因为 $𝐴$ 的特征多项式 $det (𝜆 𝐼 - 𝐴)$ 的所有零点自然是 $𝜆_{𝑖}$ ；而直接展开的话，又会发现 $det (𝜆 𝐼 - 𝐴)$ 的 $𝜆^{𝑛 - 1}$ 一项系数等于 $- \sum 𝑎_{𝑖 𝑖}$ 。那么根据韦达定理，自然有

\sum_{𝑖} 𝑎_{𝑖 𝑖} = \sum_{𝑖} 𝜆_{𝑖}

所以，既然要求特征值非负，而且和为 1，我们就可以将密度矩阵看作是它的正交基上的概率分布。这里 Hermitian 矩阵的作用正是为了确认基是正交的，这就是我们最开始要引入谱定理的原因。

密度矩阵描述了一个量子态的所有物理信息。不过，它无法描述量子态的制备历史，因为两种不同的制备方式可能会获得同一个密度矩阵。考虑

\frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

\frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) + \frac{1}{4} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

所以通过半 $| 0 ⟩$ 半 $| 1 ⟩$ ，和通过半 $| + ⟩$ 半 $| - ⟩$ 制备出来的量子态其实是一模一样的。这种恰好等于 $\frac{𝐼}{2}$ 的混合态称为最大混合态 (maximally mixed state)，因为它的本征值是均匀的，每一个都是 $\frac{1}{2}$ 。对于 $𝑛$ 维的混合态，最大混合态自然是 $\frac{𝐼}{𝑛}$ 。

在 $| 0 ⟩, | 1 ⟩$ 这组基下，密度矩阵的非对角项表示相干 (coherence)。考虑

𝜌 = (\begin{matrix} 𝜌_{00} & 𝜌_{01} \\ 𝜌_{10} & 𝜌_{11} \end{matrix})

那么 $𝜌_{𝑖 𝑗}$ 其实是等于 $⟨ 𝑖 | 𝜌 | 𝑗 ⟩$ 的。那么非对角元素 $𝜌_{𝑖 𝑗}$ 自然表示了 $| 𝑖 ⟩$ 和 $| 𝑗 ⟩$ 有多大的关系。实际上，要看相不相干还是得看 $⟨ 𝑖 | 𝜌 | 𝑗 ⟩$ ，只是恰好这里可以直接通过那几个元素读出来而已。

如果非对角元是 0，那么在这个基下 $𝜌$ 是无相干的。最大混合态在任何基下都无相干。

1.4 投影测量

投影测量 (projective measurements) 一般简称 PVM，由一组矩阵 ${𝑀_{𝑖}} (1 \leq 𝑖 \leq 𝑘)$ 确定，其中每个 $𝑀_{𝑖}$ 都是 Hermitian 的，而且要求 $𝑀_{𝑖}$ 是幂等的 ( $𝑀_{𝑖}^{2} = 𝑀_{𝑖}$ )。 $𝑀_{𝑖}$ 是个投影，一定不可逆。我当时在这里纠结了半天，认为这个条件加上 $𝑀_{𝑖} = 𝑀_{𝑖}^{†}$ 必然有 $𝑀_{𝑖} = 𝐼$ ，才发现 $𝑀_{𝑖}^{- 1}$ 不见得存在。

我们还要求 $\sum 𝑀_{𝑖} = 𝐼$ ，才将这样一组 $𝑀_{𝑖}$ 称作 PVM。

既然是测量，我们可以用这些 $𝑀_{𝑖}$ 去测量一个纯态 $| 𝜓 ⟩$ ，得到 $𝑘$ 种不同的结果。结果 $𝑖$ 的概率是

‖ 𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩ ‖^{2} = ⟨ 𝜓 | 𝑀_{𝑖}^{†} 𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩ = ⟨ 𝜓 | 𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩

测量后，状态的方向坍缩到了 $𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩$ 。还需要叠加一个归一化，除以 $‖ 𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩ ‖$ 才行。

注意到， $‖ 𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩ ‖^{2}$ 其实等于 $Tr (𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |)$ 。这是因为 $Tr (𝐴 𝐵 𝐶) = Tr (𝐵 𝐶 𝐴)$ ，从而

Tr (𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |) = Tr (⟨ 𝜓 | 𝑀 | 𝜓 ⟩) = ⟨ 𝜓 | 𝑀 | 𝜓 ⟩

最后一步是因为那个值就是个实数，而实数的 Tr 自然是它本身。

注意到纯态 $| 𝜓 ⟩$ 写作混合态时，其实是 $𝜌 = | 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |$ ，而 $| 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |$ 又在 PVM 里出现了一次。那么直觉告诉我们，对任意的混合态 $𝜌$ ，用 ${𝑀_{𝑖}}$ 测量后概率理应也是 $Tr (𝑀_{𝑖} 𝜌)$ 。

在测量出结果 $𝑖$ 之后的坍缩则是

\frac{𝑀_{𝑖} 𝜌 𝑀_{𝑖}}{Tr (𝑀_{𝑖} 𝜌)}

。

要理解这个，我们还是先看纯态是怎么样的。对于 $| 𝜓 ⟩$ ，它坍缩到 $𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩$ 。写成混合态的话，就是对于 $| 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |$ ，它坍缩后的分子是 $(𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩) {(𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩)}^{†}$ ，而这恰好是 $𝑀_{𝑖} | 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 | 𝑀_{𝑖}$ （毕竟 $𝑀_{𝑖}$ 是 Hermitian 的）。所以，如果推广到混合态 $𝜌$ ，分子就是 $𝑀_{𝑖} 𝜌 𝑀_{𝑖}$ 了。分母自然来自归一化，和纯态的也是一样的。

1.5 偏迹与纯化

我们最开始讲了混合态其实可以用来描绘复杂系统的局部。那么，我们该如何将它提取出来呢？

考虑一个 $𝐴$ , $𝐵$ 一起构成的量子系统，它的密度矩阵记作 $𝜌_{𝐴 𝐵}$ 。那么如果 $𝐴$ 的密度矩阵位于 ${ℋ︀}_{𝐴}$ 中， $𝐵$ 的密度矩阵位于 ${ℋ︀}_{𝐵}$ 中，这个复合系统的矩阵自然需要在 ${ℋ︀}_{𝐴} \otimes {ℋ︀}_{𝐵}$ 内。

而偏迹 $𝜌_{𝐴} = {Tr}_{𝐵} (𝜌_{𝐴 𝐵})$ 指的是将 $𝜌_{𝐴 𝐵}$ 按 $𝐵$ 分块后，这个分块矩阵的主对角线之和。以二维为例， $𝜌_{𝐴 𝐵}$ 是一个 $4 \times 4$ 的矩阵，不过按照 $𝐵$ 分块之后就只剩下 $2 \times 2$ 了：

𝜌_{𝐴 𝐵} = (\begin{matrix} 𝐵_{00} & 𝐵_{01} \\ 𝐵_{10} & 𝐵_{11} \end{matrix})

那么 ${Tr}_{𝐵} (𝜌_{𝐴 𝐵})$ 就是 $𝐵_{00} + 𝐵_{01}$ ，依然是一个矩阵，而且刚好和 $𝐴$ 的普通密度矩阵大小相同。形式化地说，

{Tr}_{𝐵} (| 𝑎_{1} 𝑏_{1} ⟩ ⟨ 𝑎_{2} 𝑏_{2} |) = | 𝑎_{1} ⟩ ⟨ 𝑎_{2} | ⟨ 𝑏_{1} | 𝑏_{2} ⟩

如果 $𝑎_{𝑛}$ 和 $𝑏_{𝑛}$ 都是正交归一的，就只留下 ${Tr}_{𝐵} (| 𝑎_{𝑛} 𝑏_{𝑚} ⟩ ⟨ 𝑎_{𝑛} 𝑏_{𝑚} |) = | 𝑎_{𝑛} ⟩ ⟨ 𝑎_{𝑛} |$ ，剩下的都是零。

系统 $𝐴$ 的每一个混合态都可以找到某个 $𝜌_{𝐵}$ ，使得它们拼起来是一个纯态。这就叫作纯化：

\forall 𝜌_{𝐴} . \exists {| 𝜓 ⟩}_{𝐴 𝐵} . 𝜌_{𝐴} = {Tr}_{𝐵} ({| 𝜓 ⟩}_{𝐴 𝐵})

而且，Uhlmann 定理告诉我们，所有这样的 $| 𝜓 ⟩$ 都可以通过某个 unitary 矩阵相互转化。这里 unitary 是指 $𝑈^{- 1} = 𝑈^{†}$ ，而 Hermitian 则是说 $𝐻 = 𝐻^{†}$ 。

1.6 迹距离

两个量子态的距离 $𝐷 (𝜌, 𝜎)$ 定义为

𝐷 (𝜌, 𝜎) = \frac{1}{2} Tr | 𝜌 - 𝜎 |

它确定了两个量子态通过测量被区分的最大概率，这个值是 $\frac{1 - 𝐷 (𝜌, 𝜎)}{2}$ 。

1.7 量子信道

我们描述了很多量子操作，包括直接乘以某个 unitary 矩阵 $𝑈$ ，进行测量，以及补上/消去系统的一部分 $𝐵$ 之类的。它们是否能统一描述呢？

实际上，所有这些都对应一种 CPTP 映射 (completely positive trace-preserving)。对于一个映射 $𝒮︀$ ，如果它要是 CPTP，那么就必须满足这些条件：

正性。对任意的混合态 $𝜌 \geq 0$ ，必定有 $𝒮︀ (𝜌) \geq 0$ ；
完全正性。如果它作用于某个更大系统的一部分，也需要保持正性。也就是说，对任意的系统 $𝐵$ ，以及总状态 $𝜎 \geq 0$ ，那么 $(𝐼 \otimes 𝒮︀) (𝜎) \geq 0$ 。
保迹。既然密度矩阵表示概率，那么 $Tr = 1$ 的条件不能改变。所以要求 $Tr 𝜌 = Tr 𝒮︀ (𝜌)$ 。

Kraus 表示告诉我们，这样的 $𝒮︀$ 总是可以写作 $\sum_{𝑘} 𝐴_{𝑘} 𝜌 𝐴_{𝑘}^{†}$ ，其中 $𝐴_{𝑘}$ 是任意矩阵。为了能够保迹， $𝐴_{𝑘} 𝐴_{𝑘}^{†}$ 之和需要等于 $𝐼$ 。