量子计算笔记 (2)

这次是做题环节。

似乎 MathML 对矩阵之类的支持挺不好的，所以为了阅读体验，建议去看 PDF 版本，按钮就在上面（藏得比较深）。

1 密度矩阵，谱定理

对于 $𝑡 \in ℝ$ ，令 $𝜌_{𝑡} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 𝑡 \\ 𝑡 & 1 \end{matrix})$ 。

计算 $𝜌_{𝑡}$ 的特征值和正交归一的特征基。要让 $𝜌_{𝑡}$ 是密度矩阵， $𝑡$ 的可能取值有哪些？
解. $det (𝜆 𝐼 - 𝜌_{𝑡}) = 0$ ，也就是 $| \begin{matrix} 1 - 2 𝜆 & 𝑡 \\ 𝑡 & 1 - 2 𝜆 \end{matrix} | = 0$ 。那么， $𝜆 = \frac{1}{2} (1 \pm 𝑡)$ 。
至于特征向量，
$(\begin{matrix} 1 - 2 𝜆 & 𝑡 \\ 𝑡 & 1 - 2 𝜆 \end{matrix}) (\begin{matrix} 𝑎 \\ 𝑏 \end{matrix}) = 𝟎$
$𝜆 = \frac{1}{2} (1 + 𝑡)$ 时，特征向量为 $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ ； $𝜆 = \frac{1}{2} (1 - 𝑡)$ 时，则为 $(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ 。我们需要正交归一的基，那么除以 $\sqrt{2}$ 就可以了。
要让 $𝜌_{𝑡}$ 是密度矩阵，只需要让它是 Hermitian 的半正定矩阵，而且 $Tr 𝜌_{𝑡} = 1$ 即可。只有半正定会对 $𝑡$ 有约束，也就是 $\frac{1}{2} (1 \pm 𝑡) \geq 0$ ，那么 $- 1 \leq 𝑡 \leq 1$ 。
将 $𝜌_{𝑡}$ 写作两个纯态的加权和。
解. 容易想到这两个纯态就是 $| 𝑣_{1} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})$ 和 $| 𝑣_{2} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})$ 。所以，
$𝜌_{𝑡} = \frac{1}{2} | 𝑣_{1} ⟩ ⟨ 𝑣_{1} | + \frac{1}{2} | 𝑣_{2} ⟩ ⟨ 𝑣_{2} |$
证明当且仅当 $Tr (𝜌^{2}) = 1$ 的时候， $𝜌$ 是纯态。
解. 假设 $Tr (𝜌^{2}) = 1$ 。令 $𝜌 = (\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑏^{*} & 1 - 𝑎 \end{matrix})$ ，那么
$𝜌^{2} = (\begin{matrix} 𝑎^{2} + ‖ 𝑏 ‖^{2} & 𝑏 \\ 𝑏^{*} & {(1 - 𝑎)}^{2} + ‖ 𝑏 ‖^{2} \end{matrix})$
所以 $Tr (𝜌^{2}) = 𝑎^{2} + {(1 - 𝑎)}^{2} + 2 ‖ 𝑏 ‖^{2} = 1$ ，这说明 $𝑎 = 𝑎^{2} + ‖ 𝑏 ‖^{2}$ 。
要让 $𝜌$ 是纯态，就必须找到 $| 𝜓 ⟩ = (\begin{matrix} 𝑥 \\ 𝑦 \end{matrix})$ 使得 $𝜌 = | 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |$ ，也就是
$(\begin{matrix} 𝑎 & 𝑏 \\ 𝑏^{*} & 1 - 𝑎 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‖ 𝑥 ‖^{2} & 𝑥 𝑦^{*} \\ 𝑥^{*} 𝑦 & ‖ 𝑦 ‖^{2} \end{matrix})$
显然 $‖ 𝑥 ‖, ‖ 𝑦 ‖$ 已经被 $𝑎$ 所确定。为了让它有解，我们只需要让 $𝑏 𝑏^{*} = 𝑎 (1 - 𝑎)$ 即可，而 $𝑎 = 𝑎^{2} + ‖ 𝑏 ‖^{2}$ 已经说明了这一点。
再假设 $𝜌 = | 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |$ 是纯态。那么只要计算一下，就可以得知 $Tr (𝜌^{2}) = 1$ ，过程和上面的基本上完全一样。

2 相干

令 $| 𝜓_{\pm} ⟩ = \frac{1}{2} (\sqrt{3} | 0 ⟩ \pm | 1 ⟩)$ ， $𝜏 = \frac{3}{4} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{4} | 1 ⟩ ⟨ 1 |$ 。

计算 $| 𝜓_{+} ⟩$ , $| 𝜓_{-} ⟩$ 等比例混合所得到的混合态。它可以与 $𝜏$ 区分吗？
解.
$\begin{aligned} 𝜌 & = \frac{1}{2} | 𝜓_{+} ⟩ ⟨ 𝜓_{+} | + \frac{1}{2} | 𝜓_{-} ⟩ ⟨ 𝜓_{-} | \\ = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{matrix}) + \frac{1}{8} (\begin{matrix} 3 & - \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = 𝜏 \end{aligned}$
既然密度矩阵相同，它们是不可区分的。
计算 computational basis 下， $| 𝜓_{+} ⟩ ⟨ 𝜓_{+} |$ 和 $𝜏$ 的测量结果分布。
解. 对于 $𝜏$ ，它自然是 $\frac{3}{4}$ 得到 $| 0 ⟩$ ， $\frac{1}{4}$ 得到 $| 1 ⟩$ 。
对于 $| 𝜓_{+} ⟩ ⟨ 𝜓_{+} |$ ，它等于 $\frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{matrix})$ ，所以同样也是 $\frac{3}{4}$ 得到 $| 0 ⟩$ ， $\frac{1}{4}$ 得到 $| 1 ⟩$ 。
计算 $𝐻 𝜏 𝐻^{†}$ ，并由此得到 $| 𝜓_{+} ⟩ ⟨ 𝜓_{+} |$ 和 $𝜏$ 在 Hadamard 基下的测量结果分布。
解.
$\begin{aligned} 𝐻 𝜏 𝐻^{†} & = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 & 3 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \end{aligned}$
这说明 $𝜏$ 在 $𝐻$ -基下有 $\frac{1}{2}$ 概率得到 $| + ⟩$ ， $\frac{1}{2}$ 概率得到 $| - ⟩$ 。
再考虑 $| 𝜓_{+} ⟩ ⟨ 𝜓_{+} |$ 。
$𝐻 | 𝜓_{+} ⟩ = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\begin{matrix} \sqrt{3} + 1 \\ \sqrt{3} - 1 \end{matrix})$
所以
$\begin{aligned} 𝐻 | 𝜓_{+} ⟩ ⟨ 𝜓_{+} | 𝐻^{†} & = \frac{1}{8} (\begin{matrix} \sqrt{3} + 1 \\ \sqrt{3} - 1 \end{matrix}) (\sqrt{3} + 1, \sqrt{3} - 1) \\ = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 4 + 2 \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 4 - 2 \sqrt{3} \end{matrix}) \end{aligned}$
因此得到 $| + ⟩$ , $| - ⟩$ 的概率分别是 $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{8}$ 以及 $\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{8}$ 。

3 PVM

两个量子比特以 $𝜌 = | + + ⟩ ⟨ + + |$ 形式被制备出来。考虑

𝑀_{even} = | 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 11 ⟩ ⟨ 11 |, 𝑀_{odd} = | 01 ⟩ ⟨ 01 | + | 10 ⟩ ⟨ 10 |

证明 $𝑀_{even}, 𝑀_{odd}$ 是一组投影测量矩阵。
解. 首先，它们加起来是 I。
然后， $𝑀_{even}$ 和 $𝑀_{odd}$ 都是 Hermitian 的，而且都幂等。所以，它们构成一组投影测量矩阵。
计算测量的可能结果以及坍缩后的密度矩阵。它是否是纠缠态？
解. 首先看 $𝑀_{even}$ 。我们有
$\begin{aligned} 𝑀_{even} 𝜌 & = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \end{aligned}$
所以概率为 $Tr (𝑀_{even} 𝜌) = \frac{1}{2}$ 。测量后的状态是 $𝑀_{even} 𝜌 𝑀_{even}$ 除以归一化系数，所以是
$𝜌^{'} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
$𝑀_{odd}$ 也是类似的，只不过换了一下顺序而已。
这个东西确实是纠缠态，毕竟不可能存在 $𝑎 \otimes 𝑏$ 使得它等于 $𝜌^{'}$ 。
如果分别对每个比特在 computational basis 下测量，结果又会如何呢？
解. 这会是 $| 01 ⟩, | 10 ⟩, | 00 ⟩, | 11 ⟩$ 中的某一种，概率各为 $\frac{1}{4}$ 。所以，一个非对角项都没有留下来。

4 纯化

令 $| Ψ_{𝐴 𝐵} ⟩ = \frac{1}{2} (\sqrt{3} | 00 ⟩ + | 11 ⟩)$ 。

计算 $𝜌_{𝐴} = {Tr}_{𝐵} | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |$ 和 $𝜌_{𝐵} = {Tr}_{𝐴} | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |$ 。它们是否是纯态？
解. 写成矩阵形式的话，
$| Ψ ⟩ = \frac{1}{2} (\begin{matrix} \sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$
所以
$𝜌_{Ψ} = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
那么，对于 $𝐴$ 来说，我们可以将它看作是分块矩阵：
$𝜌_{Ψ_{𝐴 𝐵}} = (\begin{matrix} 𝐴_{00} & 𝐴_{01} \\ 𝐴_{10} & 𝐴_{11} \end{matrix})$
这样分块，是因为 $𝐴$ 的指标相同。前两个是 $| 00 ⟩, | 01 ⟩$ ， $𝐴$ 都是零；后两个是 $| 10 ⟩, | 11 ⟩$ ， $𝐴$ 都是 1。
所以 $𝜌_{𝐵} = {Tr}_{𝐴} | Ψ ⟩ ⟨ Ψ |$ 是 $𝐴_{00} + 𝐴_{11}$ ，它等于 $\frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 。
对于 $𝐵$ 而言，需要稍微交换一下才能把属于它的部分放在一起。我们需要按照 $𝐵$ 指标相同来分块，而 1、3 列的 $𝐵$ 指标相同（均为零），2、4 列也是（均为 1），所以重新排列之后相当于把 2、3 列交换。同理，2、3 行也需要交换。不过所有这些都全为零，所以其实没变：
$𝜌_{Ψ_{𝐵 𝐴}} = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
那么同样分块之后对主对角线求和，就可以知道 $𝜌_{𝐴} = {Tr}_{𝐵} | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 了。
下面我们要检查这是不是纯态。如果它等于某个 $| 𝜓 ⟩ ⟨ 𝜓 |$ ，那么令 $𝜓 = (\begin{matrix} 𝑎 \\ 𝑏 \end{matrix})$ ，就有
$\frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} ‖ 𝑎 ‖^{2} & 𝑎 𝑏^{*} \\ 𝑎^{*} 𝑏 & ‖ 𝑏 ‖^{2} \end{matrix})$
解得 $𝑎 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $𝑏 = \frac{1}{2}$ 。所以这确实是纯态。
说明 $| Ψ^{'} ⟩ = \frac{1}{2} (\sqrt{3} | 0 + ⟩ + | 1 - ⟩)$ 也是 $𝜌_{𝐴}$ 的纯化，并找到一个作用在 $𝐵$ 上的 $𝑈$ ，将 $Ψ$ 转化为 $Ψ^{'}$ 。
解. 显然这个 $𝑈 = 𝐻$ 。
$Ψ^{'}$ 显然是纯态。要说明 $Ψ^{'}$ 是 $𝜌_{𝐴}$ 的纯化，我们需要先将这个矩阵写出来。它等于
$| Ψ^{'} ⟩ = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\begin{matrix} \sqrt{3} \\ \sqrt{3} \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$
所以
$| Ψ^{'} ⟩ ⟨ Ψ^{'} | = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 3 & 3 & \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ 3 & 3 & \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & 1 & - 1 \\ - \sqrt{3} & - \sqrt{3} & - 1 & 1 \end{matrix})$
要考虑 $𝜌_{𝐴} = {Tr}_{𝐵} | Ψ^{'} ⟩ ⟨ Ψ^{'} |$ ，我们就需要按照 $𝐵$ 的指标重新排列。
$𝜌_{Ψ_{𝐵 𝐴}^{'}} = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 3 & \sqrt{3} & 3 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 & \sqrt{3} & - 1 \\ 3 & \sqrt{3} & 3 & - \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & - 1 & - \sqrt{3} & 1 \end{matrix})$
最后加起来：
${Tr}_{𝐵} | Ψ^{'} ⟩ ⟨ Ψ^{'} | = \frac{1}{8} ((\begin{matrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 & - \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} & 1 \end{matrix})) = \frac{1}{4} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$
所以 $Ψ^{'}$ 也是 $𝜌_{𝐴}$ 的纯化。

5 迹距离

令 $𝑝 = diag (𝑝_{1}, \dots, 𝑝_{𝑑})$ 和 $𝑞 = diag (𝑞_{1}, \dots, 𝑞_{𝑑})$ 为密度矩阵。证明
$𝐷 (𝑝, 𝑞) = \frac{1}{2} \sum_{𝑖 = 1}^{𝑑} ‖ 𝑝_{𝑖} - 𝑞_{𝑖} ‖$
解. 根据定义， $𝐷 (𝑝, 𝑞) = \frac{1}{2} ‖ 𝑝 - 𝑞 ‖_{1}$ 。这里的 $‖ 𝑎 ‖_{1}$ 就是特征值的绝对值之和。对于 $𝑝 - 𝑞$ ，它的特征值自然是 $𝑝_{𝑖} - 𝑞_{𝑖}$ ，所以即可证明。
令 $𝜌 = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, 𝜎 = | + ⟩ ⟨ + |$ 。计算 $𝜌 - 𝜎$ 的特征值，迹距离和最大区分概率。
解. 直接展开，
$𝜌 - 𝜎 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) - \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 \end{matrix})$
要计算特征值，就需要解方程
$det (2 (𝜌 - 𝜎) - 2 𝜆 𝐼) = 4 𝜆^{2} - 2 = 0$
所以 $𝜆 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ 。那么，迹距离就是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ （别忘了除以 2），最大区分概率则为 $\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ 。